理解小学数学中的数

伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）著

原著：Understanding Numbers in Elementary School Mathematics（2011年）

出版：美国数学学会（AMS）

ISBN：978-0-8218-5260-6

本页为中文翻译，保留原著数学公式。

序言

"……没有庸俗的音乐，除非是演奏方式使之如此。" —— 赫伯特·冯·卡拉扬

本书是一本面向K–6年级（幼儿园至六年级）数学课程的教科书，专为小学教师而写。具体而言，它针对课程中最实质性的部分，即数与运算。

本书与为K–6学生编写的教科书有何不同？最明显的区别在于，由于成人具有更长的注意力持续时间和更高的理解力，本书的阐述更为简洁；它还提供连贯的逻辑论证，而非零碎的知识片段。此外，为增强数学解释的清晰度，本书在适当时候毫不犹豫地使用符号记号——当然，符号的引入是非常谨慎和循序渐进的。

由于当前共识认为数学教师应了解超越其所教年级水平的数学知识，本书也讨论了可能更适合七八年级的主题，如有理数（正负分数）、欧几里得算法、正整数素数分解的唯一性，以及分数到（可能是无限的）小数的转换。

本书最显著的特点是其对K–12课程中核心数字概念的全面而系统的数学发展：整数、分数和有理数。这种发展在近年来教育讨论中对数学连贯性的强调背景下具有重要意义。

数学中的连贯性不是像蒙娜丽莎微笑那样不可言喻的东西。它是数学固有的品质，在数学的每个方面都有具体体现。如果我们想要连贯的课程和连贯的数学学习进程，我们至少必须拥有一个符合学生学习轨迹的、逻辑连贯的学校数学呈现方式的默认模型。

致谢

作者感谢多年来在数学教师专业发展中给予帮助的众多同事、教师和机构。特别感谢最初在2000年帮助启动职业发展工作的"A团队"——Bev Braxton、Ada Wada和Mary Burmester。感谢LACOE（洛杉矶县教育办公室）的Henry Mothner和Tim Murphy，以及Stephen D. Bechtel, Jr.基金会和MSRI（数学科学研究所）的长期支持。

致读者

"现代教育在各学科中的一大罪过，是不愿要求付出认真的努力。" —— 文学史家 Douglas Bush

开门见山地说，阅读本书需要付出认真的努力。在要求认真努力的同时，我向你保证，掌握本书中的一切，认真努力基本上就是所需的全部。从字面意义上说，你不需要任何数学知识就可以开始阅读。毕竟，从解释为什么273代表二百七十三（两个百、七个十和三个一）开始，然后仔细解释两个整数相加的"如何做"和"为什么"，能有多高的要求呢？

你可以期望从本书中学到什么：

• 精确性：本书避开诗意般的模糊表达，使用朴素而精确的散文来呈现数学
• 定义的首要性：精确定义被置于数学的核心位置，作为所有推理和讨论的基础
• 不懈强调推理：每个断言都给出理由——为什么"倒数相乘"法则对分数除法是正确的？为什么两个负数的乘积是正数？
• 数学的结构：数学陈述是层次化模式的一部分，而非随意堆砌的

本书约定

• $3 \times 5$ 表示 $5 + 5 + 5$（即将5加3次），而非 $3 + 3 + 3 + 3 + 3$
• 在表达式中，乘法优先于加法执行
• 四舍五入时，若两个值同样接近，则选择较大的数
• 分数记号 $\frac{m}{n}$ 或 $m/n$ 自动假设 $n > 0$
• $-xy$ 表示 $-(xy)$
• 单独写一个素数本身也被视为"素数之积"

第一部分：整数

本部分讨论整数 $0, 1, 2, 3, 4, \ldots$，目的是为本书的主要话题——分数、小数和有理数——奠定坚实基础。注意我们将0包含在整数之中。

本部分的核心思想是印度-阿拉伯记数系统中的计数方式。精确的计数过程是标准算法和估算技术的基础。

本部分的大部分内容致力于理解小学数学中的"面包和黄油"——标准算法。虽然我们会比现有文献更精确地阐述这些算法的过程，但重点不在过程本身，而在于这些过程背后的逻辑推理。

第1章 位值

本章讨论我们的记数系统（即印度-阿拉伯记数系统）中的位值概念。位值通常被视为整数算术中至关重要的概念，但与其让学生作为信条来接受，不如让教师知道位值是我们记数系统计数方式的必然结果。

1.1 如何计数

计数是数学的起点。印度-阿拉伯记数系统有两个基本思想：

1. 仅使用十个符号：$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$
2. 通过将这十个符号放在不同的位置来写出所有可能的计数数

用一位数只能表示0到9。当我们增加到两位数时，通过在每个数左侧添加一个新的位（十位），可以区分十行数字，从而不含糊地从0计数到99：

位值的核心信息：在数字如38中，3代表的不是3而是30，而8就是8本身。如果学生接受只用十个符号计数的限制，并经历上述数字的书写过程，他们可能会自己理解3必须代表30——因为它标记的是第三次重复这十个符号。

关于加法的定义：$a + b$ 是从数 $a$ 开始再数 $b$ 步所到达的整数。例如，$4 + 5$ 意味着从4开始数5步：$4 \to 5 \to 6 \to 7 \to 8 \to 9$，所以 $4 + 5 = 9$。

一个重要的跳跃计数模式：对任意非零整数 $n$，

1.2 位值

以3728为例。要到达3728，我们从3000开始，再数700步到3700，再数20步到3720，最后数8步到3728。因此：

这样的表达式叫做3728的展开形式。用指数记号表示：

其中 $10^n = \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{n}$，且 $10^0 = 1$。

1.4 数轴

固定一条水平直线，在上面指定一个点为0。在0的右侧，标记等距的点并称它们为1, 2, 3, 4, 等等，就像尺子一样。这些整数所标记的线就叫数轴。

从0到1的线段记作 $[0, 1]$，叫做单位线段，数字1叫做单位。一旦选定了单位线段，数轴上的所有整数就确定了。

加法可以在数轴上用线段的首尾连接来表示：$m + n$ 等于长度为 $m$ 的线段和长度为 $n$ 的线段首尾连接后的总长度。

1.5 比较数的大小

给定两个整数 $a$ 和 $b$，我们定义 $b$ 大于 $a$（或 $a$ 小于 $b$），如果在计数过程中 $a$ 出现在 $b$ 之前。记作 $a < b$ 或 $b > a$。

在数轴上，$a < b$ 意味着点 $a$ 位于点 $b$ 的左边。

三分律：给定两个整数 $a$ 和 $b$，以下三种情况恰好有一种成立：$a = b$，$a < b$，$b < a$。

两个基本观察：

1. 如果 $b$ 的位数多于 $a$，则 $a < b$
2. 如果两个数位数相同，从左到右比较，第一个不同位置上数字较小的那个数较小

1.6 乘法与展开形式

乘法被定义为重复加法的简写：

利用乘法，我们可以写出大数的展开形式。例如美国人口298,534,453的指数展开形式：

指数法则：$10^{m+n} = 10^m \times 10^n$。

第2章 运算基本法则

本章介绍四则运算的基本法则。等号"="表示两边是相同的数，即它们是数轴上同一个点。

• 加法结合律：$(m + n) + l = m + (n + l)$
• 加法交换律：$m + n = n + m$
• 乘法结合律：$(mn)l = m(nl)$
• 乘法交换律：$mn = nm$
• 分配律：$m(n + l) = mn + ml$

分配律可能是这些法则中最重要的。它说的是：$m$ 个 $(n + l)$ 等于先取 $m$ 个 $n$，再取 $m$ 个 $l$。

第3章 标准算法

标准算法的核心理念是一位一位地计算。我们将逐一解释加法、减法、乘法和除法的标准算法，重点不在于过程本身，而在于过程为何正确的逻辑推理。

第4章 加法算法

加法算法的基本思想：从右向左逐位相加，当某位之和大于等于10时向左边一位进1。例如计算 $359 + 473$：先算 $9 + 3 = 12$，写2进1；再算 $5 + 7 + 1 = 13$，写3进1；最后 $3 + 4 + 1 = 8$。结果是832。

进位的数学本质是利用等式 $10 \times 10^n = 10^{n+1}$。

第5章 减法算法

减法的定义：给定整数 $a$ 和 $b$（$a \geq b$），$a - b$ 是满足 $b + x = a$ 的唯一整数 $x$。在数轴上，$a - b$ 是从 $b$ 到 $a$ 的距离。

减法算法的关键步骤是借位（退位），其数学本质是利用 $10^{n+1} = 10 \times 10^n$ 将高位的一个单位拆分为低位的十个单位。

第6章 乘法算法

乘法算法基于分配律，将多位数的乘法分解为与各个位上数字的乘法之和。例如 $35 \times 78 = 35 \times (70 + 8) = 35 \times 70 + 35 \times 8$。

第7章 长除法算法

带余除法

在数轴上，$q$ 是满足 $qd \leq a < (q+1)d$ 的整数，余数 $r = a - qd$ 是点 $a$ 到最近的不超过它的 $d$ 的倍数之间的距离。

长除法算法将寻找商 $q$ 的任务分解为从左到右逐位搜索 $q$ 的各个数字。这是一个了不起的分解。

重要说明：学校数学中 "$25 \div 6 = 4\text{ R }1$" 的写法应当被废弃。正确的表达应该是 "$25 = (4 \times 6) + 1$"。

第8章 数轴与四则运算

本章从数轴的角度重新审视四则运算，强调单位的重要性。单位的选择决定了数轴上的数代表什么。例如，同样的物理长度，选择不同的单位会对应不同的数。

第9章 什么是数？

一个数就是数轴上的一个点。到目前为止我们讨论了整数——数轴上等间距的特殊点集。在第二部分，我们将把分数也放到数轴上；在第三部分，则是有理数。

第10章 关于估算

本章讨论四舍五入和估算。将整数 $n$ 四舍五入到最近的10，就是找到最接近 $n$ 的10的倍数。

绝对误差是估计值与真实值之差的绝对值。相对误差是绝对误差除以真实值：

估算在日常生活中非常重要：当精确答案不可能获得或不需要时，一个好的估计就足够了。

第11章 以 $b$ 为基数的数

我们的十进制系统对应 $b = 10$ 的情况。对于任意正整数 $b > 1$，一个数的 $b$ 进制展开是：

其中每个系数 $a_i$ 是小于 $b$ 的非负整数。

两个特殊的基数值得关注：$b = 2$（二进制，计算机科学的基础）和 $b = 60$（六十进制，巴比伦人使用，至今仍在时间计量中使用——"2小时52分15秒"就是 $(2\;52\;\underline{15})_{60}$ 秒）。

第二部分：分数

这是本书最重要的部分。本部分提供了一种全新的分数教学方法。传统教学要求学生相信分数是一块披萨、是部分与整体、是比、是除法、是算子——这些多重含义的并存让学生困惑不已。

本部分的核心思想：分数是数轴上以特定方式构造的点。一旦接受这个定义，就可以用逻辑推理来解释分数的所有其他含义。而且，分数的加减乘除与整数的运算方式相同——策略一致，只是细节不同。

第12章 分数与小数的定义

一个分数是数轴上以特定方式确定的一个点。具体而言：

将每个单位线段 $[0,1], [1,2], [2,3], \ldots$ 都等分为 $n$ 段等长的小段。这些分点，从0开始，依次标记为 $\frac{0}{n}, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}, \ldots$ 。一般地，$\frac{m}{n}$ 就是从0开始、数 $m$ 个 $\frac{1}{n}$ 单位所到达的点。

观察：$\frac{n}{n} = 1$，$\frac{2n}{n} = 2$，$\frac{3n}{n} = 3$，等等。整数是分数的特例。

小数是分母为10的幂次的分数。例如 $0.37 = \frac{37}{100} = \frac{37}{10^2}$。

第13章 等价分数与FFFP

这个定理的证明使用了分数的数轴定义。它在分数的各个方面都具有压倒性的重要性。

FFFP（分数的基本事实）：两个分数 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 相等，当且仅当 $ad = bc$。

交叉相乘算法：$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ 当且仅当 $ad < bc$（当 $b, d > 0$ 时）。

第14章 分数的加法

分数加法的定义与整数加法一致——都是线段的首尾连接。$\frac{k}{l} + \frac{m}{n}$ 就是长度为 $\frac{k}{l}$ 的线段和长度为 $\frac{m}{n}$ 的线段首尾连接后的总长度。

加法公式：

第15章 等价分数的应用

分数的一个重要性质：$\frac{m}{n}$ 等于 $m$ 除以 $n$（即 $m \div n$）。这不是分数的定义，而是从数轴定义推导出来的定理。

分数 $\frac{m}{n}$ 的 $\frac{k}{\ell}$ 表示将 $\frac{m}{n}$ 等分为 $\ell$ 份后取 $k$ 份的结果。

第16章 分数的减法

当 $\frac{a}{b} \geq \frac{c}{d}$ 时，$\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$ 定义为满足 $\frac{c}{d} + x = \frac{a}{b}$ 的唯一分数 $x$。减法公式：

第17章 分数的乘法

分数乘法的定义：$\frac{m}{n}$ 乘以 $\frac{k}{l}$ 就是数轴上 $[0, \frac{k}{l}]$ 按比例 $\frac{m}{n}$ 缩放后的长度。

乘积公式：

乘积公式的一个重要推论：$\frac{m}{n}$ 的 $\frac{k}{l}$ 就等于 $\frac{m}{n} \times \frac{k}{l}$。这给出了日常语言中"的"的数学含义。

第18章 分数的除法

对于分数 $A$ 和非零分数 $B$，$A \div B$ 定义为满足 $B \times x = A$ 的唯一分数 $x$。

"倒数相乘"法则：

这个法则的证明直接来自除法的定义和乘积公式。它不是一个神秘的技巧，而是逻辑推理的必然结果。

第19章 繁分数

繁分数（复合分数）是分子或分母本身包含分数的分数，如 $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}$。繁分数的基本运算规则：

• (a) $\frac{A}{B} = A \times \frac{1}{B}$
• (b) $\frac{A}{1} = A$
• (c) $A \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{D}$
• (d) $\frac{A/B}{C} = \frac{A}{BC}$
• (e) $\frac{A}{C/D} = \frac{AD}{C}$
• (f) $\frac{A/B}{C/D} = \frac{AD}{BC}$

第20章 百分数

百分数的精确定义：分母为100的（复合）分数。$\frac{N}{100}$ 通常写作 $N\%$。

例如，"$7\frac{1}{2}\%$ 的 512美元"的意思是：将512美元分成100等份后取 $7\frac{1}{2}$ 份。数学表达式为 $7\frac{1}{2}\% \times 512 = \frac{7\frac{1}{2}}{100} \times 512$。

百分数的本质就是一个数，和其他分数没有区别。有了精确定义后，所有百分数问题都可以通过逻辑推理解决，无需依靠死记硬背。

第21章 学校数学的基本假设（FASM）

FASM声明：整数和分数之间成立的所有四则运算性质（交换律、结合律、分配律等）对所有实数同样成立。这是从分数过渡到一般实数的桥梁。

第22章 比与速率

比的定义：两个同类量 $A$ 和 $B$（$B \neq 0$）的比是分数 $\frac{A}{B}$。记作 $A : B$。

速率是不同类量的比。例如，速度是距离与时间的比。

本章还讨论了合作问题：如果甲独立完成一项工作需要 $a$ 天，乙需要 $b$ 天，那么两人合作完成需要 $\frac{ab}{a+b}$ 天。

第23章 应用题

本章展示如何用分数知识解决各种实际应用题。关键在于仔细阅读题目，将日常语言翻译成精确的数学表达式，然后用我们已经建立的分数运算来求解。

第24章 论分数教学

本章讨论分数教学的原则和策略。核心观点是：分数教学应以数轴为基础，强调精确定义和逻辑推理，而不是依赖模糊的类比（如"披萨"模型）和死记硬背。

第三部分：有理数

第25章 双向数轴

现在我们需要数轴上0左边的部分。对于每个分数 $x$（在0的右边），它关于0的镜像（mirror reflection）记为 $x^*$，位于0的左边，与0的距离等于 $x$ 与0的距离。

有理数的定义：有理数是分数或分数的镜像。即有理数是形如 $\frac{p}{q}$ 或 $(\frac{p}{q})^*$ 的数。

第26章 有理数的另一种视角

有理数可以被看作是数轴上所有的"带符号分数"。正有理数在0的右边，负有理数在0的左边，0既不是正的也不是负的。

第27章 有理数的加减法

向量与向量加法

为定义有理数的加法，我们引入向量的概念。数轴上一个数 $x$ 的向量 $\vec{x}$ 是从0指向 $x$ 的有方向的线段。向量加法通过"首尾连接"定义。

有理数加法的定义：$x + y$ 等于向量 $\vec{x} + \vec{y}$ 的终点。

显式计算规则（设 $s, t$ 为正分数）：

• $s + t^* = s - t$（当 $s \geq t$ 时）
• $s + t^* = (t - s)^*$（当 $s < t$ 时）
• $s^* + t^* = (s + t)^*$

减法即加法

对任意有理数 $x$ 和 $y$，定义 $x - y = x + y^*$。这使得减法成为加法的特例。记号 $-y$ 就是 $y^* = 0 - y$。

第28章 加减法再探

本章从公理化角度重新审视有理数加法，建立加法的基本假设（交换律、结合律、零元素、逆元素），并推导出基本事实。

第29章 有理数的乘法

有理数乘法的核心结果：两个负数的乘积是正数。

证明依赖于分配律和加法逆元。这不是一个人为的规定，而是保持运算法则一致性的逻辑必然结果。

第30章 有理数的除法

有理数除法的定义与分数除法一致：$A \div B$（$B \neq 0$）是满足 $B \times x = A$ 的唯一有理数。

有理商：任意有理数 $\frac{a}{b}$（$b \neq 0$）都可以看作除法 $a \div b$ 的结果。

第31章 有理数的排序

有理数的比较规则扩展了分数的比较规则。正有理数大于0，负有理数小于0。

有理数的幂：$x^n$ 定义为 $n$ 个 $x$ 的乘积。当 $|x| > 1$ 时，$|x^n|$ 随 $n$ 增大而增大。

绝对值：$|x|$ 是 $x$ 到0的距离。$|x| = x$（若 $x \geq 0$），$|x| = -x$（若 $x < 0$）。三角不等式：$|x + y| \leq |x| + |y|$。

第四部分：数论

本部分探讨整数的加法和乘法之间的相互作用，引出整除性、素数和算术基本定理。

第32章 整除性规则

若整数 $d$ 整除整数 $n$（记作 $d | n$），则存在整数 $q$ 使得 $n = qd$。

常用的整除性规则：

• 被2整除：末位数字为偶数
• 被3整除：各位数字之和能被3整除
• 被4整除：末两位组成的数能被4整除
• 被9整除：各位数字之和能被9整除
• 被11整除：奇数位数字之和与偶数位数字之和之差能被11整除

第33章 素数与因子

一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正整数因子，就叫素数（质数）。否则叫合数。

埃拉托斯特尼筛法：要找出不超过 $N$ 的所有素数，只需依次删除 $2, 3, 5, 7, \ldots$ 到 $\sqrt{N}$ 的所有素数的合适倍数。例如，不超过144的素数有34个（因为 $\sqrt{144} = 12$，只需检查到12的因子）。

关于素数的著名定理和猜想：

• 狄利克雷定理：若 $a$ 和 $b$ 互素，则等差数列 $a + b, 2a + b, 3a + b, \ldots$ 中包含无穷多个素数
• 孪生素数猜想：是否存在无穷多对相差为2的素数（如11和13）？至今未解决
• 哥德巴赫猜想：每个大于2的偶数是否都可以写成两个素数之和？至今未解决
• 格林-陶定理（2004年）：存在任意长度的由素数组成的等差数列

第34章 算术基本定理（FTA）

存在性的证明通过反复提取素因子实现：若 $n$ 不是素数，则它有一个素因子 $p$，令 $n = pA$；若 $A$ 不是素数，继续分解；由于 $A < n$，这个过程必然终止。

唯一性的证明需要一个关键引理（见第35章），依赖于欧几里得算法。

这个定理说明，就乘法而言，素数是整数的基本构件。

第35章 欧几里得算法

最大公因数（gcd）：$\gcd(a, b)$ 是同时整除 $a$ 和 $b$ 的最大正整数。

欧几里得算法通过反复的带余除法来计算gcd：

最后一个非零余数 $r_{n-1}$ 就是 $\gcd(a, b)$。

一个重要结果：$\gcd(a, b)$ 可以表示为 $a$ 和 $b$ 的整系数线性组合：$\gcd(a, b) = sa + tb$，其中 $s, t$ 为整数。

第36章 应用

• 最小公倍数（lcm）：$\text{lcm}(a, b) = \frac{ab}{\gcd(a, b)}$
• 分数与小数：一个最简分数 $\frac{m}{n}$ 等于有限小数，当且仅当 $n$ 的素因子只有2和5
• 无理数：$\sqrt{2}$ 是无理数（证明使用算术基本定理）
• 素数的无穷性：欧几里得证明了素数有无穷多个——如果只有有限个素数 $p_1, p_2, \ldots, p_k$，那么 $N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$ 不能被任何 $p_i$ 整除，矛盾。

第37章 勾股数组

满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的正整数三元组 $(a, b, c)$ 叫做勾股数组。所有本原勾股数组（即 $\gcd(a, b) = 1$）可以参数化表示：

其中 $s > t > 0$，$\gcd(s, t) = 1$，且 $s$ 和 $t$ 一奇一偶。

第五部分：小数进阶

第38章 有限小数的重要性

有限小数在日常生活中至关重要，因为测量总是产生有限小数。所有测量仪器——尺子、温度计、体重秤——都以有限小数报告结果。

第39章 有限小数复习

有限小数是分母为10的幂次的分数。例如 $2.047 = \frac{2047}{10^3}$。有限小数的四则运算遵循分数运算的一般规则。

第40章 科学记数法

一个正数写成科学记数法的形式是 $c \times 10^n$，其中 $1 \leq c < 10$，$n$ 是整数。例如：

科学记数法便于比较非常大或非常小的数。

第41章 无限小数

不是所有的分数都等于有限小数。例如 $\frac{1}{3}$。通过反复的带余除法，我们可以得到：

这是一个循环小数。无限小数是一系列有限小数的"极限"——虽然我们无法写完，但这些有限截断越来越接近真正的值。

第42章 分数的小数展开

证明的核心思想是分析长除法过程中的余数序列。由于余数只能取0到 $n-1$ 之间的值，根据鸽巢原理，余数必然会在不超过 $n$ 步内重复出现，从而产生循环。

本页基于 Hung-Hsi Wu《Understanding Numbers in Elementary School Mathematics》（AMS, 2011）翻译而成。
版权归原作者所有。本翻译仅供学术参考与教学使用。